Послідовний статистичний критерій - послідовна статистична процедура, що використовується для перевірки статистичних гіпотез в послідовному аналізі.
Нехай спостереженню в статистичному експерименті доступна випадкова величина
з невідомим (повністю або частково) розподілом
(формально, в математичній нотації,
, де імовірнісний простір
забезпечений
-алгеброю подій,
, і
вимірна відносно борелевої
-алгебри).
Нехай перевіряється нульова гіпотеза
проти альтернативи
.
При кожному етапі
статистичного експерименту, незалежно від інших етапів, спостерігається випадкова величина
— копія
, до тих пір поки
, де
— деяких (випадковий) момент зупинки. Послідовний статистичний критерій - це пара
, де
— будь-яка функція від
, що приймає значення 0 або 1 (рішення, відповідно, на користь нульової
або альтернативної
гіпотези).
Цьому визначенню може бути наданий формальний сенс за допомогою поняття моменту зупинки відносно послідовності
-алгебр
, що породжені випадковими величинами
,
. Тоді вирішуюча функція
повинна бути вимірною відносно
-алгебри
подій, що передують моменту
:
.
Функція потужності критерію
в "точці"
визначається як
. Якщо
, то
називається ймовірністю похибки першого роду (ймовірність відкинути нульову гіпотезу, коли вона вірна). Якщо
, то
називається ймовірністю похибки другого роду (ймовірність приняти нульову гіпотезу, коли вона не вірна)
Рандомізований послідовний критерій перевірки гіпотез може бути визначений як пара
, де
,
, і
,
- (вимірні) функції, що приймають значення між 0 і 1,
. На кожному етапі
(якщо експеримент до нього дійшов)
інтерпретується як ймовірність зупинитися на цьому етапі, без проведення подальших спостережень, а
- як ймовірність відкинути нульову гіпотезу, якщо зупинка на цьому етапі відбулася.
називається рандомізованим правилом зупинки, а
- рандомізованим правилом ухвалення рішення.
Якщо всі
набувають тільки значень 0 (продовження спостережень) і 1 (зупинка), то правило зупинки
визначає (нерандомізований) момент зупинки
. Аналогічно, якщо всі
набувають тільки значень 0 (прийняття нульової гіпотези) і 1 (відкидання нульової гіпотези), то правило ухвалення рішення
визначає (нерандомізовану) вирішуючу функцію:
, якщо
.
Функція потужності критерію
в "точці"
визначається як
, де
- математичне сподівання відносно
. Якщо
, то
- ймовірність похибки першого роду. Якщо
, то ймовірність похибки другого роду рівна
, де
.
Відповідно, середній об'єм вибірки при використанні правила зупинки
визначається як
, якщо
(в іншому випадку
).
- Ширяев А. Н. Статистический последовательный анализ. Оптимальные правила остановки — М.: Наука, 1976.(рос.)
- Ghosh, M., Mukhopadhyay, N., and Sen, P.K. Sequential Estimation, New York: Wiley, 1997.(англ.)